Упр.208 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 208. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной квадрата, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна а. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат: 1) по разные стороны от хорды; 2) по одну сторону от хорды.

Общая хорда имеет длину $$a$$. Она является стороной правильного треугольника и стороной квадрата, вписанных в разные окружности.

Найдём радиусы этих окружностей.

Для правильного треугольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен

$$r_3=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Для квадрата со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен

$$r_4=\frac{a}{2\sin 45^\circ}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Однако в данном решении удобнее использовать формулы через половину хорды и половинный центральный угол:

$$r_3=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{a}{2\sqrt{3}}, \qquad r_4=\frac{a}{2\tan 45^\circ}=\frac{a}{2}.$$

Тогда расстояние между центрами окружностей зависит от их расположения относительно общей хорды.

1) Центры лежат по разные стороны от хорды.

В этом случае расстояние равно сумме радиусов:

$$l=r_3+r_4=\frac{a}{2\sqrt{3}}+\frac{a}{2}=\frac{a+a\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{a(\sqrt{3}+3)}{6}.$$

2) Центры лежат по одну сторону от хорды.

В этом случае расстояние равно разности радиусов:

$$l=r_4-r_3=\frac{a}{2}-\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}-a}{2\sqrt{3}}=\frac{a(3-\sqrt{3})}{6}.$$

Ответ

1) $$\frac{a(\sqrt{3}+3)}{6}$$; 2) $$\frac{a(3-\sqrt{3})}{6}$$.