Упр.207 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 207. Докажите, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

В правильном пятиугольнике все центральные углы равны, поэтому

$$\angle EOA=\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOE=\beta,$$

где

$$\beta=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$EOC$$. Он равнобедренный, так как $$OE=OC$$. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle OCE=\angle CEO=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle EOC\right).$$

Так как $$\angle EOC=\angle EOD+\angle DOC=2\beta=144^\circ,$$ то

$$\angle OCE=\frac{1}{2}(180^\circ-144^\circ)=18^\circ.$$

Аналогично в равнобедренном треугольнике $$AOB$$:

$$\angle OBA=\angle OAB=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle AOB\right)=\frac{1}{2}(180^\circ-72^\circ)=54^\circ.$$

И в равнобедренном треугольнике $$BOC$$:

$$\angle OBC=\angle OCB=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle BOC\right)=\frac{1}{2}(180^\circ-72^\circ)=54^\circ.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABCE$$. В нём

$$\angle ABC+\angle ECB=\angle ABO+\angle OBC+\angle OCB+\angle OCE=54^\circ+54^\circ+54^\circ+18^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ABCE$$ — трапеция, значит,

$$CE \parallel AB.$$

Аналогично доказывается, что каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.

Ответ

$$CE \parallel AB$$, следовательно, каждая диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.