Упр.206 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 206. Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

Пусть $$ABCDE$$ — правильный пятиугольник, $$O$$ — его центр. Тогда все вершины лежат на одной окружности, поэтому

$$OA=OB=OC=OD=OE=R.$$

В правильном пятиугольнике центральные углы равны, значит

$$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOE=\angle EOA.$$

Следовательно,

$$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC,$$

и аналогично

$$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD,$$

$$\angle COE=\angle COD+\angle DOE,$$

$$\angle DOA=\angle DOE+\angle EOA,$$

$$\angle EOB=\angle EOA+\angle AOB.$$

Так как все эти углы состоят из двух равных центральных углов, то

$$\angle AOC=\angle BOD=\angle COE=\angle DOA=\angle EOB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. В них

$$OA=OB=OC=OD=R,$$

$$\angle AOC=\angle BOD.$$

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$AC=BD.$$

Аналогично получаем

$$BD=CE=DE=EA=AC.$$

Следовательно, все диагонали правильного пятиугольника равны.

Ответ

$$AC=BD=CE=DE=EA.$$