Упр.205 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 205. Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касания этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен 20°. Найдите количество сторон многоугольника.

Обозначим через $$\beta$$ угол между радиусами, проведёнными в точки касания окружности с соседними сторонами правильного многоугольника.

Тогда в правильном многоугольнике все такие центральные углы равны, а сумма всех центральных углов равна $$360^\circ$$. Значит, если число сторон многоугольника равно $$n$$, то

$$n=\frac{360^\circ}{\beta}.$$

По условию $$\angle EOF=20^\circ$$, где $$OE$$ и $$OF$$ — радиусы, проведённые к точкам касания с соседними сторонами. Следовательно, $$\beta=20^\circ$$.

Тогда

$$n=\frac{360^\circ}{20^\circ}=18.$$

Ответ

$$18$$