Упр.20 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 20. Найдите сумму квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — острые углы прямоугольного треугольника, а $$c$$ — прямой угол. Тогда

$$c=90^\circ,\qquad b=90^\circ-a.$$

Найдём сумму квадратов косинусов всех углов:

$$\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 c$$

Подставим $$b=90^\circ-a$$ и $$c=90^\circ$$:

$$\cos^2 a+\cos^2(90^\circ-a)+\cos^2 90^\circ$$

Используем формулы:

$$\cos(90^\circ-a)=\sin a,\qquad \cos 90^\circ=0.$$

Тогда

$$\cos^2 a+\sin^2 a+0^2=1.$$

Следовательно, сумма квадратов косинусов всех углов прямоугольного треугольника равна $$1$$.

Ответ

$$1$$