Упр.198 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 198. Сторона правильного многоугольника равна а, радиус вписанной окружности равен r. Найдите радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$, где $$O$$ — центр окружности. Тогда $$AO=BO=R$$, значит, $$\triangle AOB$$ равнобедренный.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на сторону $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$AOB$$ высота $$OH$$ является также медианой, поэтому

$$AH=HB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHB$$. По теореме Пифагора:

$$OB^2=OH^2+HB^2,$$

$$R^2=r^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=r^2+\frac{a^2}{4}.$$

Следовательно,

$$R=\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}.$$

Ответ

$$\sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}$$