Упр.197 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 197. Радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника равны соответственно r и R. Найдите сторону многоугольника.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB=R$$, то он равнобедренный. Перпендикуляр $$OH$$, опущенный из центра окружности на сторону $$AB$$, в равнобедренном треугольнике является также медианой, значит

$$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHB$$. По теореме Пифагора:

$$BH^2=OB^2-OH^2.$$

Подставим известные значения:

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2=R^2-r^2.$$

Тогда

$$\frac{a^2}{4}=R^2-r^2,$$

$$a^2=4\left(R^2-r^2\right),$$

$$a=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Ответ

$$2\sqrt{R^2-r^2}$$