Упр.196 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Сторона правильного многоугольника равна $$a$$, радиус описанной окружности равен $$R$$. Найдите радиус вписанной окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB=R$$, то он равнобедренный. Высота $$OH$$, опущенная на основание $$AB$$, является также медианой, значит

$$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OHB$$. По теореме Пифагора:

$$OH=\sqrt{OB^2-BH^2}.$$

Подставим известные значения:

$$r=OH=\sqrt{R^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$

Ответ

$$r=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.$$