Упр.195 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 195. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, на 4 см больше радиуса вписанной окружности. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.

Для правильного треугольника радиусы описанной и вписанной окружностей связаны формулой

$$R=2r.$$

По условию $$R=r+4.$$ Тогда

$$2r=r+4,$$

откуда $$r=4\text{ см}.$$

Найдём радиус описанной окружности:

$$R=2r=2\cdot 4=8\text{ см}.$$

Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности формулой

$$a=2R\sin 60^\circ.$$

Тогда

$$a=2\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ

$$r=4\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad AB=8\sqrt{3}\text{ см}.$$