Упр.194 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 194. Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим правильный треугольник $$ABC$$. Тогда все его углы равны $$60^\circ$$, а сторона обозначим через $$AB$$.

Для радиуса описанной окружности имеем формулу:

$$R=\frac{AB}{2\sin 60^\circ}.$$

Для радиуса вписанной окружности:

$$r=\frac{AB}{2\tan 60^\circ}.$$

Найдём отношение:

$$ \frac{R}{r} = \frac{\dfrac{AB}{2\sin 60^\circ}}{\dfrac{AB}{2\tan 60^\circ}} = \frac{\tan 60^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{1}{\cos 60^\circ} =2. $$

Следовательно, $$R=2r$$, то есть радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.

Ответ

$$R:r=2:1$$.