Упр.191 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 191. Диагональ квадрата равна 6v2 см. Чему равен радиус: 1) описанной окружности; 2) вписанной окружности?

Подробный ответ

В квадрате диагонали равны и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам. Поэтому

$$OA=OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{2}.$$

Диагонали квадрата перпендикулярны, значит $$\angle AOB=90^\circ.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{18+18}=\sqrt{36}=6.$$

Сторона квадрата равна $$6$$ см.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали:

$$R=\frac{BD}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ см}.$$

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:

$$r=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$