Упр.190 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 190. Высота правильного треугольника равна 15 см. Чему равен радиус: 1) описанной окружности; 2) вписанной окружности?

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — правильный треугольник, $$BH$$ — его высота, $$BH=15$$ см.

В правильном треугольнике высота является также медианой, поэтому

$$CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHC$$:

$$\angle BHC=90^\circ,$$

$$BC^2=BH^2+CH^2.$$

Подставим $$CH=\frac{1}{2}BC$$:

$$ BC^2=15^2+\left(\frac{1}{2}BC\right)^2 $$
$$ BC^2=225+\frac{1}{4}BC^2 $$
$$ \frac{3}{4}BC^2=225 $$
$$ BC^2=300 $$
$$ BC=10\sqrt{3}. $$

Теперь найдём радиусы описанной и вписанной окружностей правильного треугольника:

$$ R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{10\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=10, $$

$$ r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=5. $$