Упр.190 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Высота правильного треугольника равна 15 см. Чему равен радиус: 1) описанной окружности; 2) вписанной окружности?

Пусть $$ABC$$ — правильный треугольник, $$BH$$ — его высота, $$BH=15$$ см.

В правильном треугольнике высота является также медианой, поэтому

$$CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHC$$:

$$\angle BHC=90^\circ,$$

$$BC^2=BH^2+CH^2.$$

Подставим $$CH=\frac{1}{2}BC$$:

$$BC^2=15^2+\left(\frac{1}{2}BC\right)^2$$
$$BC^2=225+\frac{1}{4}BC^2$$
$$\frac{3}{4}BC^2=225$$
$$BC^2=300$$
$$BC=10\sqrt{3}.$$

Теперь найдём радиусы описанной и вписанной окружностей правильного треугольника:

$$R=\frac{a}{2\sin 60^\circ}=\frac{10\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=10,$$

$$r=\frac{a}{2\tan 60^\circ}=\frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=5.$$

Ответ

$$R=10$$ см, $$r=5$$ см.