Упр.188 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 188. Пусть a3 — сторона правильного треугольника, R и r — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

Для правильного треугольника со стороной $$a_3$$ радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности выражаются формулами:

$$R=\frac{a_3}{2\sin 60^\circ}, \qquad r=\frac{a_3}{2\tg 60^\circ}.$$

Так как $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\tg 60^\circ=\sqrt{3}$$, получаем:

$$R=\frac{a_3}{\sqrt{3}}, \qquad r=\frac{a_3}{2\sqrt{3}}.$$

Теперь заполним таблицу.

1) Если $$a_3=6\sqrt{3}$$, то

$$R=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6, \qquad r=\frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=3.$$

2) Если $$a_3=12$$, то

$$R=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}, \qquad r=\frac{12}{2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

3) Если $$a_3=4\sqrt{3}$$, то

$$R=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4, \qquad r=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2.$$

Ответ

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline a_3 & R & r\\ \hline 6\sqrt{3} & 6 & 3\\ \hline 12 & 4\sqrt{3} & 2\sqrt{3}\\ \hline 4\sqrt{3} & 4 & 2\\ \hline \end{array}$$