Упр.184 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 184. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет 1/9 угла многоугольника.

Пусть $$\alpha$$ — угол правильного многоугольника, а $$\beta$$ — смежный с ним угол. По условию

$$\beta=\frac{1}{9}\alpha.$$

С другой стороны, смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\alpha+\beta=180^\circ.$$

Подставим $$\beta=\frac{1}{9}\alpha$$:

$$\alpha+\frac{1}{9}\alpha=180^\circ,$$

$$\frac{10}{9}\alpha=180^\circ,$$

$$\alpha=162^\circ.$$

Для правильного $$n$$-угольника внутренний угол равен

$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.$$

Тогда

$$\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=162^\circ,$$

$$180n-360=162n,$$

$$18n=360,$$

$$n=20.$$

Ответ

20