Упр.183 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: 1) $$140^\circ$$; 2) $$130^\circ$$?

Для правильного n-угольника каждый внутренний угол равен

$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}.$$

1) Пусть $$\alpha=140^\circ.$$ Тогда

$$\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=140^\circ.$$

Умножим на $$n$$:

$$180(n-2)=140n.$$

$$180n-360=140n,$$

$$40n=360,$$

$$n=9.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, правильный девятиугольник существует.

2) Пусть $$\alpha=130^\circ.$$ Тогда

$$\frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}=130^\circ.$$

Умножим на $$n$$:

$$180(n-2)=130n.$$

$$180n-360=130n,$$

$$50n=360,$$

$$n=7{,}2.$$

Число сторон многоугольника должно быть натуральным, значит такого правильного многоугольника не существует.

Ответ

1) Да; 2) нет.