Упр.177 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) правильный шестиугольник;
2) правильный треугольник;
3) правильный двенадцатиугольник.

1) Правильный шестиугольник. Разделим окружность на 6 равных дуг. Для этого достаточно последовательно откладывать на окружности хорду, равную радиусу: у правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности. Получим шесть точек на окружности и соединим их по порядку.

Так как центральные углы равны $$\frac{360^\circ}{6}=60^\circ,$$ то все стороны и все углы полученного многоугольника равны, значит, это правильный шестиугольник.

2) Правильный треугольник. Разделим окружность на 3 равные дуги. Центральный угол между соседними вершинами равен $$\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$ Отметим на окружности три точки через одну и соединим их.

Полученный вписанный треугольник равносторонний, так как его дуги и соответствующие центральные углы равны, следовательно, равны и хорды.

3) Правильный двенадцатиугольник. Разделим окружность на 12 равных дуг. Центральный угол между соседними вершинами равен $$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ.$$ Отметим на окружности 12 точек через равные промежутки и соединим их по порядку.

Можно построить двенадцатиугольник и иначе: сначала вписать правильный шестиугольник, затем каждую его дугу разделить пополам. Тогда получатся 12 равных дуг, а значит, и 12 равных сторон.

Ответ: построены правильный шестиугольник, правильный треугольник и правильный двенадцатиугольник, вписанные в окружность радиуса $$3\text{ см}$$.