Упр.176 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны;
2) если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его стороны также равны;
3) если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы также равны;
4) если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны?

Подробный ответ

1) Если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то равны и все его углы.

Пусть $$A_1A_2\dots A_n$$ — такой многоугольник, $$O$$ — центр окружности. Тогда

$$OA_1=OA_2=\dots=OA_n=R,$$

а по условию

$$A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_nA_1.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle OA_1A_2$$, $$\triangle OA_2A_3$$, …, $$\triangle OA_nA_1$$. У них равны две стороны и угол между ними, значит, эти треугольники равны. Следовательно, равны и соответствующие углы многоугольника:

$$\angle A_1A_2A_3=\angle A_2A_3A_4=\dots=\angle A_nA_1A_2.$$

Значит, утверждение верно.

2) Если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то все его стороны равны.

Это неверно. Например, прямоугольник можно вписать в окружность, и все его углы равны $$90^\circ$$, но его стороны не обязаны быть равными: у прямоугольника $$AB\ne BC$$.

Значит, равенство всех углов не влечёт равенство всех сторон.

3) Если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то равны и все его углы.

Пусть $$A_1A_2\dots A_n$$ — многоугольник, описанный около окружности, $$O$$ — её центр. Тогда радиусы, проведённые к точкам касания, равны, а расстояния от центра до всех сторон одинаковы:

$$OH_1=OH_2=\dots=OH_n=R.$$

По условию

$$A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_nA_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные радиусами и сторонами многоугольника. Из равенства соответствующих элементов получаем равенство углов при вершинах многоугольника:

$$\angle A_1A_2A_3=\angle A_2A_3A_4=\dots=\angle A_nA_1A_2.$$

Следовательно, утверждение верно.

4) Если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то все его стороны равны.

Пусть все углы равны. Тогда многоугольник является равноугольным. Для многоугольника, описанного около окружности, равенство всех углов означает равенство соответствующих центральных углов, а значит, равны и отрезки касательных, проведённые из соседних вершин. Поэтому

$$A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_nA_1.$$

Следовательно, утверждение верно.