Упр.175 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 175. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 72°; 2) 171°?

Для выпуклого n-угольника сумма внутренних углов равна $$S=(n-2)\cdot 180^\circ.$$

1) Пусть каждый угол равен $$72^\circ.$$ Тогда

$$n\cdot 72^\circ=(n-2)\cdot 180^\circ.$$

Решим уравнение:

$$72n=180n-360,$$

$$180n-72n=360,$$

$$108n=360,$$

$$n=\frac{360}{108}=\frac{10}{3}.$$

Число сторон многоугольника должно быть целым, значит, такого выпуклого многоугольника не существует.

2) Пусть каждый угол равен $$171^\circ.$$ Тогда

$$n\cdot 171^\circ=(n-2)\cdot 180^\circ.$$

Решим уравнение:

$$171n=180n-360,$$

$$180n-171n=360,$$

$$9n=360,$$

$$n=40.$$

Такое число сторон целое, значит, выпуклый многоугольник существует.

Ответ

1) Нет. 2) Да.