Упр.170 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 170. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит его угол в отношении 4:5. Определите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

В прямоугольнике $$ABCD$$ угол $$\angle B$$ равен $$90^\circ$$. Перпендикуляр $$BH$$ делит его на два угла, поэтому

$$\angle ABH+\angle CBH=90^\circ.$$

По условию

$$\angle ABH:\angle CBH=4:5.$$

Пусть $$\angle ABH=4x$$, тогда $$\angle CBH=5x$$. Получаем

$$4x+5x=90^\circ,$$

$$9x=90^\circ,$$

$$x=10^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABH=40^\circ,\qquad \angle CBH=50^\circ.$$

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются пополам, значит, если $$O$$ — точка их пересечения, то $$AO=BO$$. Следовательно, треугольник $$AOB$$ равнобедренный, и

$$\angle ABO=\angle BAO.$$

Так как $$O$$ лежит на диагонали $$AC$$, то

$$\angle BAO=\angle BAC.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем

$$\angle BAH=90^\circ-\angle ABH=50^\circ.$$

Значит,

$$\angle ABO=50^\circ.$$

Искомый угол между $$BH$$ и другой диагональю $$BD$$ равен

$$\angle DBH=\angle ABO-\angle ABH=50^\circ-40^\circ=10^\circ.$$

Ответ

$$10^\circ$$