Упр.169 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 169. Докажите, что 1/h1+1/h2+1/h3=1/r, где h1, h2 и h3 — высоты треугольника, радиус вписанной окружности.

Подробный ответ

Обозначим стороны треугольника $$ABC$$ так: $$BC=a,$$ $$AC=b,$$ $$AB=c.$$ Пусть $$AA_1=h_1,$$ $$BB_1=h_2,$$ $$CC_1=h_3$$ — высоты треугольника, а $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и соответствующую высоту:

$$S=\frac{1}{2}ah_1=\frac{1}{2}bh_2=\frac{1}{2}ch_3.$$

С другой стороны, если в треугольник вписана окружность радиуса $$r,$$ то

$$S=pr=\frac{1}{2}(a+b+c)r,$$

где $$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр треугольника.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$$ah_1=bh_2=ch_3=(a+b+c)r.$$

Тогда

$$\frac{a}{a+b+c}=\frac{r}{h_1}, \qquad \frac{b}{a+b+c}=\frac{r}{h_2}, \qquad \frac{c}{a+b+c}=\frac{r}{h_3}.$$

Сложим эти равенства:

$$\frac{r}{h_1}+\frac{r}{h_2}+\frac{r}{h_3}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1.$$

Разделим обе части на $$r$$: