Упр.168 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 168. Вершины треугольника соединены с центром вписанной в него окружности. Проведённые отрезки разбивают данный треугольник на треугольники, площади которых равны 26 см^2, 28 см^2 и 30 см^2. Найдите стороны данного треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$OH \perp AB$$. Тогда $$OH$$ — радиус вписанной окружности, значит расстояние от точки $$O$$ до каждой стороны треугольника одинаково.

Рассмотрим треугольники $$AOB$$, $$BOC$$ и $$AOC$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot OH=26,$$
откуда
$$AB\cdot OH=52,$$
$$AB=\frac{52}{OH}.$$

$$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot OH=28,$$
откуда
$$BC\cdot OH=56,$$
$$BC=\frac{56}{OH}.$$

$$S_{AOC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot OH=30,$$
откуда
$$AC\cdot OH=60,$$
$$AC=\frac{60}{OH}.$$

Площадь всего треугольника равна сумме площадей этих треугольников:

$$S_{ABC}=26+28+30=84.$$

С другой стороны, по формуле Герона, если
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2},$$
то

$$p=\frac{1}{2}\left(\frac{52}{OH}+\frac{56}{OH}+\frac{60}{OH}\right)=\frac{84}{OH}.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}.$$

Подставим найденные выражения:

$$ 84=\sqrt{\frac{84}{OH}\cdot \frac{84-52}{OH}\cdot \frac{84-56}{OH}\cdot \frac{84-60}{OH}} $$
$$ =\sqrt{\frac{84\cdot 32\cdot 28\cdot 24}{OH^4}} =\frac{1344}{OH^2}. $$

Отсюда

$$OH^2=\frac{1344}{84}=16,\qquad OH=4.$$

Теперь найдём стороны треугольника:

$$AB=\frac{52}{4}=13,$$
$$BC=\frac{56}{4}=14,$$
$$AC=\frac{60}{4}=15.$$