Упр.167 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 167. Стороны треугольника равны 39 см, 41 см и 50 см. Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности через $$O$$. Так как окружность касается двух сторон треугольника, то расстояния от точки $$O$$ до этих сторон равны радиусу $$r$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB=50$$ см, $$BC=39$$ см, $$AC=41$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$ p=\frac{50+39+41}{2}=65 $$

$$ S_{ABC}=\sqrt{65(65-50)(65-39)(65-41)} $$

$$ S_{ABC}=\sqrt{65\cdot 15\cdot 26\cdot 24}=\sqrt{608400}=780 $$

Пусть из точки $$O$$ опущены перпендикуляры на стороны $$AC$$ и $$BC$$. Тогда

$$ S_{OAC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot r=\frac{41}{2}r $$

$$ S_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot r=\frac{39}{2}r $$

Так как $$O$$ лежит на большей стороне $$AB$$, то треугольник $$ABC$$ разбивается на треугольники $$OAC$$ и $$OBC$$, значит

$$ S_{ABC}=S_{OAC}+S_{OBC} $$

$$ 780=\frac{41}{2}r+\frac{39}{2}r $$

$$ 780=40r $$

$$ r=\frac{780}{40}=19{,}5 $$