Упр.167 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Стороны треугольника равны $$39\text{ см}$$, $$41\text{ см}$$ и $$50\text{ см}$$. Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности через $$O$$. Так как окружность касается двух сторон треугольника, то расстояния от точки $$O$$ до этих сторон равны радиусу $$r$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB=50$$ см, $$BC=39$$ см, $$AC=41$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{50+39+41}{2}=65$$

$$S_{ABC}=\sqrt{65(65-50)(65-39)(65-41)}$$

$$S_{ABC}=\sqrt{65\cdot 15\cdot 26\cdot 24}=\sqrt{608400}=780$$

Пусть из точки $$O$$ опущены перпендикуляры на стороны $$AC$$ и $$BC$$. Тогда

$$S_{OAC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot r=\frac{41}{2}r$$

$$S_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot r=\frac{39}{2}r$$

Так как $$O$$ лежит на большей стороне $$AB$$, то треугольник $$ABC$$ разбивается на треугольники $$OAC$$ и $$OBC$$, значит

$$S_{ABC}=S_{OAC}+S_{OBC}$$

$$780=\frac{41}{2}r+\frac{39}{2}r$$

$$780=40r$$

$$r=\frac{780}{40}=19{,}5$$