Упр.166 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Отрезки $$\mathrm{ВМ}$$ и $$\mathrm{СК}$$ — высоты остроугольного треугольника $$\mathrm{АВС}$$, угол $$A=45^\circ$$. Найдите отношение площадей треугольников $$\mathrm{АМК}$$ и $$\mathrm{АВС}$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABM$$ и $$ACK$$.

Так как $$BM$$ — высота, то $$\angle AMB=90^\circ$$, а значит

$$\cos \angle A=\frac{AM}{AB}.$$

Так как $$CK$$ — высота, то $$\angle AKC=90^\circ$$, поэтому

$$\cos \angle A=\frac{AK}{AC}.$$

Теперь найдём площади треугольников $$ABC$$ и $$AMK$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin \angle A,$$

$$S_{AMK}=\frac{1}{2}\cdot AK\cdot AM\cdot \sin \angle A.$$

Тогда

$$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\frac{AK\cdot AM}{AC\cdot AB}.$$

Подставим выражения через $$\cos \angle A$$:

$$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\cos \angle A\cdot \cos \angle A=\cos^2 \angle A.$$

Так как $$\angle A=45^\circ$$, то

$$\frac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\cos^2 45^\circ=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$S_{AMK}:S_{ABC}=1:2.$$

Ответ

$$1:2$$