Упр.165 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 165. Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагонали — 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Построим точку E на продолжении основания AD так, чтобы CE \parallel BD. Тогда четырёхугольник DBCE — параллелограмм, значит

$$CE=BD=8\text{ см}, \qquad DE=BC=4\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AE=AD+DE=5+4=9\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник ACE. Его стороны равны

$$AC=7\text{ см}, \quad CE=8\text{ см}, \quad AE=9\text{ см}.$$

Найдём его площадь по формуле Герона:

$$ p=\frac{7+8+9}{2}=12 $$
$$ S_{ACE}=\sqrt{p(p-7)(p-8)(p-9)} =\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3} =\sqrt{720}=12\sqrt{5}. $$

Высота треугольника ACE, опущенная на прямую AE, равна высоте трапеции ABCD. Поэтому

$$ S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h =\frac{1}{2}\,AE\cdot h =S_{ACE}. $$

Значит, площадь трапеции равна