Упр.164 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 164. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см.

Проведём через вершину $B$ прямую $BE \parallel CD$, где $E \in AD$, и опустим высоту $BH \perp AD$, где $H \in AD$.

Так как $BC \parallel AD$, то четырёхугольник $EBCD$ — параллелограмм. Поэтому

$$BE=CD=37,\qquad DE=BC=10.$$

Тогда

$$AE=AD-DE=50-10=40.$$

Рассмотрим треугольник $ABE$. Его стороны равны $13$, $37$ и $40$, значит, найдём площадь по формуле Герона:

$$ p=\frac{13+37+40}{2}=45 $$

$$ S_{ABE}=\sqrt{45(45-13)(45-37)(45-40)} $$

$$ S_{ABE}=\sqrt{45\cdot 32\cdot 8\cdot 5}=\sqrt{57600}=240 $$

С другой стороны,

$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\,AE\cdot BH,$$

откуда

$$BH=\frac{2S_{ABE}}{AE}=\frac{2\cdot 240}{40}=12.$$

Теперь найдём площадь трапеции $ABCD$:

$$ S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot BH $$

$$ S_{ABCD}=\frac{1}{2}(10+50)\cdot 12=30\cdot 12=360 $$

Ответ

$$360\ \text{см}^2$$