Упр.164 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите площадь трапеции, основания которой равны $$10\ \text{см}$$ и $$50\ \text{см}$$, а боковые стороны — $$13\ \text{см}$$ и $$37\ \text{см}$$.

Проведём через вершину $$B$$ прямую $$BE \parallel CD$$, где $$E \in AD$$, и опустим высоту $$BH \perp AD$$, где $$H \in AD$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, то четырёхугольник $$EBCD$$ — параллелограмм. Поэтому

$$BE=CD=37,\qquad DE=BC=10.$$

Тогда

$$AE=AD-DE=50-10=40.$$

Рассмотрим треугольник $$ABE$$. Его стороны равны $$13$$, $$37$$ и $$40$$, значит, найдём площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{13+37+40}{2}=45$$

$$S_{ABE}=\sqrt{45(45-13)(45-37)(45-40)}$$

$$S_{ABE}=\sqrt{45\cdot 32\cdot 8\cdot 5}=\sqrt{57600}=240$$

С другой стороны,

$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\,AE\cdot BH,$$

откуда

$$BH=\frac{2S_{ABE}}{AE}=\frac{2\cdot 240}{40}=12.$$

Теперь найдём площадь трапеции $$ABCD$$:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot BH$$

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(10+50)\cdot 12=30\cdot 12=360$$

Ответ

$$360\ \text{см}^2$$