Упр.163 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Отрезок $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$, $$AB=6\ \text{см}$$, $$AC=8\ \text{см}$$, угол $$BAC=120^\circ$$. Найдите биссектрису $$AD$$.

Подробный ответ

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=60^\circ.$$

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по двум сторонам и углу между ними:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^\circ =24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =12\sqrt{3}.$$

Теперь выразим площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$ через биссектрису $$AD$$:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot AD\cdot \sin 60^\circ =3AD\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3\sqrt{3}}{2}AD,$$

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin\angle CAD =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot AD\cdot \sin 60^\circ =4AD\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =2\sqrt{3}\,AD.$$

Так как $$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}$$, получаем:

$$\frac{3\sqrt{3}}{2}AD+2\sqrt{3}\,AD=12\sqrt{3},$$

$$\frac{7\sqrt{3}}{2}AD=12\sqrt{3},$$

$$\frac{7}{2}AD=12, \qquad AD=\frac{24}{7}.$$