Упр.162 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

В треугольник со сторонами $$17\ \text{см}$$, $$25\ \text{см}$$ и $$28\ \text{см}$$ вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади образовавшихся треугольников.

Подробный ответ

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{1}{2}(17+25+28)=35$$
$$S_{ABC}=\sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)}$$
$$S_{ABC}=\sqrt{35\cdot 18\cdot 10\cdot 7}=\sqrt{44100}=210$$

Так как в треугольник вписана окружность, то расстояние от её центра $$O$$ до сторон треугольника равно радиусу $$r$$. Тогда

$$S_{ABC}=pr$$
$$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{210}{35}=6$$

Теперь найдём площади треугольников с общей высотой $$OH=r=6$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot 6=51$$

$$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 6=75$$

$$S_{AOC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 28\cdot 6=84$$