Упр.162 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 162. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади образовавшихся треугольников.

Подробный ответ

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$ p=\frac{1}{2}(17+25+28)=35 $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{35\cdot 18\cdot 10\cdot 7}=\sqrt{44100}=210 $$

Так как в треугольник вписана окружность, то расстояние от её центра $$O$$ до сторон треугольника равно радиусу $$r$$. Тогда

$$ S_{ABC}=pr $$
$$ r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{210}{35}=6 $$

Теперь найдём площади треугольников с общей высотой $$OH=r=6$$:

$$ S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot 6=51 $$

$$ S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 6=75 $$

$$ S_{AOC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 28\cdot 6=84 $$