Упр.161 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 161. Отрезок ВМ — высота треугольника АВС, ВМ=h, угол А=альфа, угол АВС=бета. Найдите площадь треугольника АВС.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. Так как $$BM$$ — высота, то $$\angle AMB=90^\circ$$. Тогда

$$\sin \angle A=\frac{BM}{AB}$$

откуда

$$AB=\frac{BM}{\sin \angle A}=\frac{h}{\sin \alpha}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию $$\angle A=\alpha$$, $$\angle ABC=\beta$$, значит

$$\angle C=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Тогда

$$\sin \angle C=\sin(180^\circ-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$:

$$\frac{AB}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle B}.$$

Отсюда

$$AC=\frac{AB\cdot \sin \beta}{\sin \angle C}=\frac{\frac{h}{\sin \alpha}\cdot \sin \beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{h\sin \beta}{\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM.$$

Подставим найденное значение $$AC$$ и $$BM=h$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{h\sin \beta}{\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}\cdot h=\frac{h^2\sin \beta}{2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}.$$