Упр.160 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $$\alpha$$, а высоты $$BD$$ и $$CE$$ равны соответственно $$h_1$$ и $$h_2$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S$$.

Так как $$BD$$ — высота, опущенная на сторону $$AC$$, то

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot h_1.$$

Отсюда

$$AC=\frac{2S}{h_1}.$$

Аналогично, так как $$CE$$ — высота, опущенная на сторону $$AB$$, имеем

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot CE=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot h_2,$$

значит

$$AB=\frac{2S}{h_2}.$$

Теперь используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle A.$$

Подставим найденные выражения для $$AB$$ и $$AC$$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2S}{h_2}\cdot \frac{2S}{h_1}\cdot \sin \alpha.$$

Тогда

$$S=\frac{2S^2\sin \alpha}{h_1h_2}.$$

Так как $$S\neq 0$$, сократим на $$S$$:

$$1=\frac{2S\sin \alpha}{h_1h_2}.$$

Отсюда

$$S=\frac{h_1h_2}{2\sin \alpha}.$$

Ответ

$$\frac{h_1h_2}{2\sin \alpha}$$