Упр.159 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 159. В треугольнике АВС АС=b, угол A=альфа, угол B=бета. Найдите площадь треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$.

По теореме о сумме углов треугольника

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B.$$

Так как $$\angle A=\alpha$$, $$\angle B=\beta$$, то

$$\angle C=180^\circ-\alpha-\beta,$$

а значит

$$\sin \angle C=\sin(\alpha+\beta).$$

По теореме синусов

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A},$$

откуда

$$BC=\frac{AC\cdot \sin \angle A}{\sin \angle B}=\frac{b\sin \alpha}{\sin \beta}.$$

Теперь найдём площадь треугольника по формуле

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin \angle C.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot \frac{b\sin \alpha}{\sin \beta}\cdot \sin(\alpha+\beta)=\frac{b^2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}{2\sin \beta}.$$

Ответ

$$\frac{b^2\sin \alpha\sin(\alpha+\beta)}{2\sin \beta}$$