Упр.158 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 158. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен R, а два угла треугольника равны альфа и бета. Найдите площадь треугольника.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме синусов для него

$$\frac{AC}{\sin \angle B}=\frac{BC}{\sin \angle A}=2R,$$

откуда

$$AC=2R\sin \beta,$$

$$BC=2R\sin \alpha.$$

Так как $$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B,$$ то

$$\sin \angle C=\sin(\alpha+\beta).$$

Теперь найдём площадь треугольника по формуле

$$S=\frac{1}{2}\,AC\cdot BC\cdot \sin \angle C.$$

Подставим найденные выражения:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 2R\sin \beta \cdot 2R\sin \alpha \cdot \sin(\alpha+\beta) =2R^2\sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta). $$

Ответ

$$2R^2\sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha+\beta).$$