Упр.157 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 157. Найдите площадь треугольника, сторона которого равна a, а прилежащие к ней углы равны бета и альфа.

Обозначим данный треугольник через $$\triangle ABC$$, где $$BC=a$$, $$\angle B=\beta$$, $$\angle C=\gamma$$.

Тогда

$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-\beta-\gamma.$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{AB}{\sin \angle C}.$$

Отсюда

$$AB=\frac{BC\cdot \sin \angle C}{\sin \angle A}=\frac{a\sin \gamma}{\sin(\beta+\gamma)}.$$

Теперь найдём площадь треугольника по формуле

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\,AB\cdot BC\cdot \sin \angle B.$$

Подставим найденное значение $$AB$$:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sin \gamma}{\sin(\beta+\gamma)}\cdot a\cdot \sin \beta =\frac{a^2\sin \beta \sin \gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}. $$

Ответ

$$\frac{a^2\sin \beta \sin \gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$$