Упр.156 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 156. Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Площадь треугольника ABD равна 12 см^2, а треугольника ACD — 20 см^2. Найдите отношение стороны АВ к стороне АС.
Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle A.$$
Площадь треугольника выражается формулой
$$S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma,$$
где $$a$$ и $$b$$ — стороны, заключающие угол $$\gamma$$.
Для треугольника $$ABD$$ имеем:
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\angle BAD.$$
Подставим данные:
$$12=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\angle A\right),$$
откуда
$$AB=\frac{24}{AD\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\angle A\right)}.$$
Аналогично для треугольника $$ACD$$:
$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin\angle CAD,$$
то есть
$$20=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\angle A\right),$$
откуда
$$AC=\frac{40}{AD\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\angle A\right)}.$$
Тогда
$$\frac{AB}{AC}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}.$$
Ответ
$$AB:AC=3:5$$
