Упр.155 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

2) Площади треугольников АВС и A_1 B_1 C_1 соответственно равны S_1 и S_2. Известно, что углы при вершинах A и A_1 равны. Докажите, S_1/S_2=(AB·AC)/(A_1 B_1·A_1 C_1).

Площадь треугольника выражается формулой

$$S=\frac12 ab\sin\gamma,$$

где $a$ и $b$ — стороны, заключающие угол $\gamma$.

1) Для каждого из треугольников на рисунке используем эту формулу и составим отношение площадей.

а)

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac12\cdot 3\cdot b\cdot \sin\alpha}{\frac12\cdot b\cdot 1\cdot \sin\alpha}=3.$$

б)

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac12\cdot 2\cdot a\cdot \sin\alpha}{\frac12\cdot a\cdot 4\cdot \sin\alpha}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

в)

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac12\cdot 1\cdot 4\cdot \sin\alpha}{\frac12\cdot 2\cdot 5\cdot \sin\alpha}=\frac{4}{10}=\frac25.$$

2) Пусть площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны соответственно $S_1$ и $S_2$. Тогда

$$S_1=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC,$$

$$S_2=\frac12\cdot A_1B_1\cdot A_1C_1\cdot \sin\angle B_1A_1C_1.$$

По условию $\angle BAC=\angle B_1A_1C_1$, значит

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot \sin\angle BAC}{\frac12\cdot A_1B_1\cdot A_1C_1\cdot \sin\angle B_1A_1C_1}=\frac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}.$$

Что и требовалось доказать.