Упр.149 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 149. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь четырехугольника.

Подробный ответ

Площадь выпуклого четырёхугольника выражается через его диагонали и угол между ними по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \varphi,$$

где $$d_1$$ и $$d_2$$ — диагонали, $$\varphi$$ — угол между ними.

В нашем случае:

$$AC=8\text{ см}, \quad BD=12\text{ см}, \quad \angle BOA=30^\circ.$$

Тогда

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ $$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$ получаем:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}=24 $$

Следовательно, площадь четырёхугольника равна $$24\text{ см}^2$$.