Упр.144 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами: 1) $$5\ \text{см},\ 5\ \text{см}\ \text{и}\ 6\ \text{см}$$; 2) $$25\ \text{см},\ 29\ \text{см}\ \text{и}\ 36\ \text{см}$$.

Используем формулы для треугольника со сторонами $$a$$, $$b$$, $$c$$:

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$ — полупериметр,

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ — формула Герона,

$$R=\frac{abc}{4S}$$ — радиус описанной окружности,

$$r=\frac{S}{p}$$ — радиус вписанной окружности.

1) $$a=5$$ см, $$b=5$$ см, $$c=6$$ см.

Найдём полупериметр:

$$p=\frac{5+5+6}{2}=\frac{16}{2}=8.$$

Площадь треугольника:

$$S=\sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12.$$

Тогда

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12}=\frac{25}{8},$$

$$r=\frac{S}{p}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$$

2) $$a=25$$ см, $$b=29$$ см, $$c=36$$ см.

Найдём полупериметр:

$$p=\frac{25+29+36}{2}=\frac{90}{2}=45.$$

Площадь треугольника:

$$S=\sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} =\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9} =\sqrt{129600}=360.$$

Тогда

$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{25\cdot 29\cdot 36}{4\cdot 360}=\frac{145}{8},$$

$$r=\frac{S}{p}=\frac{360}{45}=8.$$

Ответ

1) $$r=\frac{3}{2}$$ см, $$R=\frac{25}{8}$$ см;

2) $$r=8$$ см, $$R=\frac{145}{8}$$ см.