Упр.135 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите угол между данными сторонами треугольника ABC, если: 1) $$AB=12\ \text{см}$$, $$BC=10\ \text{см}$$, площадь треугольника равна $$30\sqrt{3}\ \text{см}^2$$; 2) $$AB=14\ \text{см}$$, $$AC=8\ \text{см}$$, площадь треугольника равна $$56\ \text{см}^2$$.

1) Площадь треугольника выражается формулой

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin \angle B.$$

Подставим данные:

$$30\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 10\cdot \sin \angle B,$$

$$30\sqrt{3}=60\sin \angle B,$$

$$\sin \angle B=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle B=60^\circ \text{ или } 120^\circ.$$

Искомый угол между сторонами $$AB$$ и $$BC$$ равен $$\angle B$$.

2) Аналогично используем формулу площади через стороны $$AB$$ и $$AC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \angle A.$$

Подставим данные:

$$56=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 8\cdot \sin \angle A,$$

$$56=56\sin \angle A,$$

$$\sin \angle A=1.$$

Значит,

$$\angle A=90^\circ.$$

Ответ

1) $$60^\circ$$ или $$120^\circ$$; 2) $$90^\circ$$.