Упр.131 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 131. На стороне АС треугольника АВС отметили точку D так, что угол ADB=альфа. Докажите, что S треугольника ABC=(1/2)AC·BDsin(альфа).

Подробный ответ

1) Проведём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$: $$BH \perp AC,$$ $$H \in AC.$$

2) Рассмотрим треугольник $$BHD.$$ Так как точки $$A, D, H, C$$ лежат на одной прямой, то лучи $$DA$$ и $$DH$$ — противоположные. Поэтому

$$\angle BDH = 180^\circ — \angle ADB = 180^\circ — \alpha.$$

Следовательно,

$$\sin \angle BDH = \sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $$BHD$$ имеем

$$\sin \angle BDH = \frac{BH}{BD}.$$

Тогда

$$BH = BD \sin \alpha.$$

3) Найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH.$$