Упр.13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла;
2) существует угол, синус и косинус которого равны;
3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю;
4) косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;
5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;
6) косинус угла треугольника может быть равным нулю;
7) синус угла треугольника может быть равным нулю;
8) косинус угла треугольника может быть равным —1;
9) синус угла треугольника может быть равным 1;
10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла;
11) косинус развернутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого;
12) синусы смежных углов равны;
13) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами;
14) если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы;
15) если синусы двух углов равны, то равны и сами углы;
16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла;
17) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла?

Подробный ответ

Используем свойства тригонометрических функций углов от $$0^\circ$$ до $$180^\circ$$:

при $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$ имеем $$\sin \alpha>0$$, $$\cos \alpha>0$$, $$\tg \alpha>0$$;
при $$90^\circ<\alpha<180^\circ$$ имеем $$\sin \alpha>0$$, $$\cos \alpha<0$$, $$\tg \alpha<0$$;
при $$\alpha=90^\circ$$ $$\sin \alpha=1$$, $$\cos \alpha=0$$;
при $$\alpha=180^\circ$$ $$\sin \alpha=0$$, $$\cos \alpha=-1$$.

Проверим утверждения:

Да, так как у острого угла $$\cos \alpha>0$$, а у тупого $$\cos \beta<0$$.
Да, например, $$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ$$.
Нет, так как одновременно $$\sin \alpha=0$$ и $$\cos \alpha=0$$ быть не может.
Да, у тупого угла треугольника косинус отрицателен.
Нет, у любого угла треугольника $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$, поэтому $$\sin \alpha>0$$.
Да, при $$\alpha=90^\circ$$ имеем $$\cos \alpha=0$$.
Нет, у угла треугольника синус не равен нулю.
Нет, $$\cos \alpha=-1$$ только при $$\alpha=180^\circ$$, а такой угол не может быть углом треугольника.
Да, при $$\alpha=90^\circ$$ имеем $$\sin \alpha=1$$.
Да, так как $$\sin 90^\circ=1$$, а для любого другого угла $$\sin \alpha<1$$.
Да, так как $$\cos 180^\circ=-1$$, а для любого другого угла $$\cos \alpha>-1$$.
Да, поскольку $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin \alpha$$.
Да, поскольку $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos \alpha$$.
Нет, равенство косинусов не означает равенство углов, например $$\cos 45^\circ=\cos 315^\circ$$.
Нет, равенство синусов не означает равенство углов, например $$\sin 45^\circ=\sin 135^\circ$$.
Да, так как у острого угла $$\tg \alpha>0$$, а у тупого $$\tg \beta<0$$.
Да, так как у острого угла $$\tg \alpha>0$$, а у тупого угла $$\ctg \beta<0$$.