Упр.128 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 128. Биссектриса угла В параллелограмма АВCD пересекает его сторону AD в точке М, а продолжение стороны CD за точку D — в точке К. Найдите отрезок DK, если АМ=8 см, а периметр параллелограмма равен 50 см.

Так как $$BC \parallel AD$$, а прямая $$BM$$ — секущая, то

$$\angle BMA=\angle CBM$$ — накрест лежащие.

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Поскольку $$BM$$ — биссектриса угла $$B$$, то

$$\angle ABM=\angle CBM.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=\angle BMA=\angle ABM,$$

значит, треугольник $$ABM$$ равнобедренный, и

$$AB=AM=8\text{ см}.$$

Периметр параллелограмма равен

$$P_{ABCD}=2AB+2BC=50,$$

откуда

$$AB+BC=25,$$

$$BC=25-AB=25-8=17\text{ см}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$CD=AB=8\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CKB$$. У них

$$\angle A=\angle C,$$

так как $$AB \parallel CD$$ и $$AD \parallel BC$$, а также

$$\angle ABM=\angle CBK$$

как углы между биссектрисой и параллельными прямыми. Поэтому

$$\triangle ABM \sim \triangle CKB.$$

Из подобия получаем:

$$\frac{AB}{CK}=\frac{AM}{BC}.$$

Подставим значения:

$$\frac{8}{CK}=\frac{8}{17},$$

значит,

$$CK=17\text{ см}.$$

Но $$CK=CD+DK,$$ поэтому

$$8+DK=17,$$

откуда

$$DK=9\text{ см}.$$

Ответ

$$9\text{ см}$$