Упр.127 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 127. Основания трапеции равны 12 см и 16 см, а боковые стороны — 7 см и 9 см. Найдите углы трапеции.

Подробный ответ

Проведём через вершину $$C$$ прямую $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит

$$CE=AB=7\text{ см}.$$

Кроме того,

$$DE=AD-BC=16-12=4\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$CED$$. По теореме косинусов:

$$ \cos \angle CED=\frac{CE^2+ED^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot ED} =\frac{7^2+4^2-9^2}{2\cdot 7\cdot 4} =\frac{49+16-81}{56} =-\frac{16}{56} =-\frac{2}{7}. $$

Следовательно,

$$\angle CED \approx 107^\circ.$$

Так как $$CE \parallel AB$$, а $$ED$$ лежит на прямой $$AD$$, то соответствующие углы равны:

$$\angle A=\angle CED \approx 107^\circ.$$

В параллелограмме $$ABCE$$ смежные углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-107^\circ=73^\circ.$$

В трапеции $$ABCD$$ углы при боковой стороне $$CD$$ также являются смежными:

$$\angle C=180^\circ-\angle D.$$

Из треугольника $$CED$$ получаем

$$\angle D=\angle CDE \approx 48^\circ,$$

значит

$$\angle C=180^\circ-48^\circ=132^\circ.$$