Упр.126 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 126. Диагональ АС равнобокой трапеции ABCD (ВС || AD) равна 8 см, угол CAD=38°, угол BAD=72°. Найдите: 1) стороны трапеции; 2) радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

В равнобокой трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC \parallel AD$$ углы при каждом основании равны, а соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до $$180^\circ$$.

Найдём углы треугольника $$ABC$$:

$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-72^\circ=108^\circ,$$

$$\angle BAC=\angle A-\angle CAD=72^\circ-38^\circ=34^\circ,$$

$$\angle BCA=180^\circ-\angle B-\angle BAC=180^\circ-108^\circ-34^\circ=38^\circ.$$

Так как трапеция равнобокая, то

$$\angle C=\angle B=108^\circ,\qquad \angle D=\angle A=72^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. По теореме синусов:

$$ AB=\frac{AC\cdot \sin \angle BCA}{\sin \angle ABC} =\frac{8\cdot \sin 38^\circ}{\sin 108^\circ}\approx 5{,}2\text{ см}, $$

$$ BC=\frac{AC\cdot \sin \angle BAC}{\sin \angle ABC} =\frac{8\cdot \sin 34^\circ}{\sin 108^\circ}\approx 4{,}7\text{ см}. $$

Для треугольника $$ACD$$ найдём угол:

$$\angle ACD=\angle C-\angle BCA=108^\circ-38^\circ=70^\circ.$$

Тогда по теореме синусов:

$$ AD=\frac{AC\cdot \sin \angle ACD}{\sin \angle ADC} =\frac{8\cdot \sin 70^\circ}{\sin 72^\circ}\approx 7{,}9\text{ см}. $$

Так как трапеция равнобокая, то $$CD=AB\approx 5{,}2\text{ см}.$$

Найдём радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$:

$$ R=\frac{AC}{2\sin \angle ABC} =\frac{8}{2\sin 108^\circ}\approx 4{,}2\text{ см}. $$

Ответ

$$AB\approx 5{,}2\text{ см},\quad BC\approx 4{,}7\text{ см},\quad CD\approx 5{,}2\text{ см},\quad AD\approx 7{,}9\text{ см};\quad R\approx 4{,}2\text{ см}.$$