Упр.125 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB=BC=20\text{ см}$$, угол $$A=70^\circ$$. Найдите: 1) сторону $$AC$$; 2) медиану $$CM$$; 3) биссектрису $$AD$$; 4) радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

1) Рассмотрим $$\triangle ABC$$. Так как $$AB=BC$$, то он равнобедренный, значит $$\angle A=\angle C=70^\circ$$.

Тогда

$$\angle B=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B$$

$$AC^2=20^2+20^2-2\cdot 20\cdot 20\cdot \cos 40^\circ$$

$$AC^2=800-800\cdot 0{,}7660=187{,}2$$

$$AC=\sqrt{187{,}2}\approx 13{,}7\text{ см}.$$

2) Пусть $$M$$ — середина $$AB$$. Тогда

$$AM=\frac12 AB=\frac12\cdot 20=10\text{ см}.$$

Рассмотрим $$\triangle AMC$$ и применим теорему косинусов:

$$CM^2=AC^2+AM^2-2\cdot AC\cdot AM\cdot \cos \angle A$$

$$CM^2=187{,}2+100-2\cdot 13{,}7\cdot 10\cdot \cos 70^\circ$$

$$CM^2=287{,}2-274\cdot 0{,}3420=193{,}5$$

$$CM=\sqrt{193{,}5}\approx 13{,}9\text{ см}.$$

3) Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle CAD=\frac12\angle A=\frac12\cdot 70^\circ=35^\circ.$$

В $$\triangle ADC$$

$$\angle ADC=180^\circ-35^\circ-70^\circ=75^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AD}{\sin \angle C}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}$$

откуда

$$AD=\frac{AC\cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ}$$

$$AD=\frac{13{,}7\cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ}\approx 13{,}3\text{ см}.$$

4) Радиус описанной окружности найдём по формуле

$$R=\frac{AB}{2\sin \angle C}$$

$$R=\frac{20}{2\sin 70^\circ}\approx 10{,}6\text{ см}.$$

Ответ

$$AC\approx 13{,}7\text{ см},\quad CM\approx 13{,}9\text{ см},\quad AD\approx 13{,}3\text{ см},\quad R\approx 10{,}6\text{ см}.$$