Упр.124 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) a=23 см, c=30 см, гамма=102°;
2) a=18 см, b=25 см, альфа=36°.

1) Даны $$a=23\text{ см},\ c=30\text{ см},\ \gamma=102^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin \gamma},\qquad \sin \alpha=\frac{a\sin \gamma}{c}=\frac{23\sin 102^\circ}{30}.$$

$$\sin \alpha \approx 0{,}7499,\qquad \alpha \approx 49^\circ.$$

Тогда

$$\beta=180^\circ-\gamma-\alpha=180^\circ-102^\circ-49^\circ=29^\circ.$$

Найдём сторону $$b$$ по теореме синусов:

$$\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma},\qquad b=\frac{c\sin \beta}{\sin \gamma}=\frac{30\sin 29^\circ}{\sin 102^\circ}\approx 14{,}9\text{ см}.$$

2) Даны $$a=18\text{ см},\ b=25\text{ см},\ \alpha=36^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta},\qquad \sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{25\sin 36^\circ}{18}.$$

$$\sin \beta \approx 0{,}8164.$$

Отсюда возможны два значения угла:

$$\beta_1\approx 55^\circ,\qquad \beta_2\approx 125^\circ.$$

1) Если $$\beta_1=55^\circ,$$ то

$$\gamma_1=180^\circ-55^\circ-36^\circ=89^\circ,$$

$$\frac{c_1}{\sin \gamma_1}=\frac{a}{\sin \alpha},\qquad c_1=\frac{a\sin \gamma_1}{\sin \alpha}=\frac{18\sin 89^\circ}{\sin 36^\circ}\approx 30{,}6\text{ см}.$$

2) Если $$\beta_2=125^\circ,$$ то

$$\gamma_2=180^\circ-125^\circ-36^\circ=19^\circ,$$

$$c_2=\frac{a\sin \gamma_2}{\sin \alpha}=\frac{18\sin 19^\circ}{\sin 36^\circ}\approx 10{,}0\text{ см}.$$

Ответ

1) $$\alpha\approx 49^\circ,\ \beta\approx 29^\circ,\ b\approx 14{,}9\text{ см}.$$

2) Два решения: $$\beta\approx 55^\circ,\ \gamma\approx 89^\circ,\ c\approx 30{,}6\text{ см};$$ или $$\beta\approx 125^\circ,\ \gamma\approx 19^\circ,\ c\approx 10{,}0\text{ см}.$$