Упр.123 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) a=7 см, b=11 см, бета=46°;
2) b=15 см, c=17 см, бета=32°;
3) a=7 см, c=3 см, гамма=27°.

Используем теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

1) $$a=7\text{ см},\ b=11\text{ см},\ \beta=46^\circ.$$

Найдём угол $$\alpha$$:

$$\sin \alpha=\frac{a\sin \beta}{b}=\frac{7\sin 46^\circ}{11}\approx 0{,}4578,$$

откуда $$\alpha \approx 27^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-27^\circ-46^\circ=107^\circ.$$

Найдём сторону $$c$$:

$$c=\frac{b\sin \gamma}{\sin \beta}=\frac{11\sin 107^\circ}{\sin 46^\circ}\approx 14{,}6\text{ см}.$$

2) $$b=15\text{ см},\ c=17\text{ см},\ \beta=32^\circ.$$

Найдём угол $$\gamma$$:

$$\sin \gamma=\frac{c\sin \beta}{b}=\frac{17\sin 32^\circ}{15}\approx 0{,}6006.$$

Следовательно, возможны два значения:

$$\gamma_1\approx 37^\circ,\qquad \gamma_2\approx 143^\circ.$$

1-й случай:

$$\alpha_1=180^\circ-\beta-\gamma_1=180^\circ-32^\circ-37^\circ=111^\circ,$$

$$a_1=\frac{c\sin \alpha_1}{\sin \gamma_1}=\frac{17\sin 111^\circ}{\sin 37^\circ}\approx 26{,}4\text{ см}.$$

2-й случай:

$$\alpha_2=180^\circ-\beta-\gamma_2=180^\circ-32^\circ-143^\circ=5^\circ,$$

$$a_2=\frac{c\sin \alpha_2}{\sin \gamma_2}=\frac{17\sin 5^\circ}{\sin 143^\circ}\approx 2{,}5\text{ см}.$$

3) $$a=7\text{ см},\ c=3\text{ см},\ \gamma=27^\circ.$$

Найдём угол $$\alpha$$:

$$\sin \alpha=\frac{a\sin \gamma}{c}=\frac{7\sin 27^\circ}{3}\approx 1{,}0593.$$

Так как значение синуса не может быть больше $$1$$, такой треугольник не существует.

Ответ

1) $$\alpha \approx 27^\circ,\ \gamma \approx 107^\circ,\ c \approx 14{,}6\text{ см}.$$

2) Возможны два решения:

$$\gamma \approx 37^\circ,\ \alpha \approx 111^\circ,\ a \approx 26{,}4\text{ см};$$

$$\gamma \approx 143^\circ,\ \alpha \approx 5^\circ,\ a \approx 2{,}5\text{ см}.$$

3) Решения нет.