Упр.12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите:
   1) $$\cos(\alpha)$$, если $$\sin(\alpha)=\frac{5}{13}$$;
   3) $$\operatorname{tg}(\alpha)$$, если $$\sin(\alpha)=\frac{5}{13}$$ и $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$;
   2) $$\sin(\alpha)$$, если $$\cos(\alpha)=\frac{1}{6}$$;
   4) $$\operatorname{ctg}(\alpha)$$, если $$\cos(\alpha)=-\frac{8}{17}$$.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1.$$

1) Если $$\sin \alpha=\frac{5}{13},$$ то

$$\cos \alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\pm\sqrt{\frac{144}{169}}=\pm\frac{12}{13}.$$

2) Если $$\cos \alpha=\frac{1}{6},$$ то

$$\sin \alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\pm\sqrt{\frac{35}{36}}=\pm\frac{\sqrt{35}}{6}.$$

3) Если $$\sin \alpha=\frac{5}{13}$$ и $$0^\circ<\alpha<90^\circ,$$ то угол острый, значит $$\cos \alpha>0.$$ Тогда

$$\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{5/13}{12/13}=\frac{5}{12}.$$

4) Если $$\cos \alpha=-\frac{8}{17},$$ то

$$\sin \alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\pm\sqrt{\frac{225}{289}}=\pm\frac{15}{17}.$$

$$\ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{-8/17}{\pm 15/17}=\mp\frac{8}{15}.$$

Следовательно, возможны два значения: $$\ctg \alpha=\pm\frac{8}{15}.$$

Ответ

1) $$\cos \alpha=\pm\frac{12}{13}$$; 2) $$\sin \alpha=\pm\frac{\sqrt{35}}{6}$$; 3) $$\tg \alpha=\frac{5}{12}$$; 4) $$\ctg \alpha=\pm\frac{8}{15}$$.