Упр.119 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) a=8 см, c=6 см, бета=15°;
2) b=7 см, c=5 см, альфа=145°.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны и теорему синусов для вычисления одного из углов. Затем находим третий угол по сумме углов треугольника.

1) $$a=8\text{ см},\ c=6\text{ см},\ \beta=15^\circ$$

По теореме косинусов:

$$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta $$
$$ b^2=8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cos 15^\circ $$
$$ b^2=64+36-96\cos 15^\circ $$
$$ b\approx \sqrt{100-96\cdot 0{,}97}\approx \sqrt{6{,}88}\approx 2{,}6\text{ см} $$

Теперь по теореме синусов:

$$ \frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b} $$
$$ \sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}\approx \frac{8\cdot \sin 15^\circ}{2{,}6}\approx 0{,}77 $$
$$ \alpha\approx 50^\circ $$

Тогда третий угол:

$$ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-50^\circ-15^\circ=115^\circ $$

2) $$b=7\text{ см},\ c=5\text{ см},\ \alpha=145^\circ$$

По теореме косинусов:

$$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $$
$$ a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cos 145^\circ $$
$$ a^2=49+25-70\cos 145^\circ $$
$$ a\approx \sqrt{74+70\cdot 0{,}82}\approx \sqrt{131{,}4}\approx 11{,}5\text{ см} $$

По теореме синусов:

$$ \frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a} $$
$$ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}\approx \frac{7\cdot \sin 145^\circ}{11{,}5}\approx 0{,}35 $$
$$ \beta\approx 20^\circ $$

Тогда

$$ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-145^\circ-20^\circ=15^\circ $$

Ответ

1) $$b\approx 2{,}6\text{ см},\ \alpha\approx 50^\circ,\ \gamma\approx 115^\circ$$.
2) $$a\approx 11{,}5\text{ см},\ \beta\approx 20^\circ,\ \gamma\approx 15^\circ$$.