Упр.118 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) b=18 см, c=22 см, альфа=76°;
2) a=20 см, b=15 см, гамма=104°.

Подробный ответ

Используем теорему косинусов и теорему синусов.

1) $$b=18\text{ см},\ c=22\text{ см},\ \alpha=76^\circ$$

Найдём сторону $$a$$ по теореме косинусов:

$$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $$
$$ a^2=18^2+22^2-2\cdot 18\cdot 22\cdot \cos 76^\circ $$
$$ a^2=324+484-792\cos 76^\circ $$
$$ a\approx \sqrt{808-792\cdot 0{,}24}\approx 24{,}8\text{ см} $$

Теперь найдём угол $$\beta$$ по теореме синусов:

$$ \frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a} $$
$$ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a}=\frac{18\sin 76^\circ}{24{,}8}\approx 0{,}7042 $$
$$ \beta\approx 45^\circ $$

Тогда третий угол:

$$ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-76^\circ-45^\circ=59^\circ $$

2) $$a=20\text{ см},\ b=15\text{ см},\ \gamma=104^\circ$$

Найдём сторону $$c$$ по теореме косинусов:

$$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $$
$$ c^2=20^2+15^2-2\cdot 20\cdot 15\cdot \cos 104^\circ $$
$$ c^2=400+225-600\cos 104^\circ $$
$$ c\approx \sqrt{625+600\cdot 0{,}24}\approx 27{,}8\text{ см} $$

Найдём угол $$\alpha$$ по теореме синусов:

$$ \frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\gamma}{c} $$
$$ \sin\alpha=\frac{a\sin\gamma}{c}=\frac{20\sin 104^\circ}{27{,}8}\approx 0{,}6981 $$
$$ \alpha\approx 44^\circ $$

Тогда

$$ \beta=180^\circ-\gamma-\alpha=180^\circ-104^\circ-44^\circ=32^\circ $$