Упр.114 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 114. На стороне АВ квадрата АВCD отметили точку К, а на стороне CD — точку М так, что АК:КВ=1:2, DM:МС=3:1. Найдите сторону квадрата, если МК=13 см.

Обозначим сторону квадрата через $$a$$.

Тогда $$AB=BC=CD=DA=a$$.

Из отношения $$AK:KB=1:2$$ получаем:

$$AK=\frac{1}{3}a.$$

Из отношения $$DM:MC=3:1$$ получаем:

$$CM=\frac{1}{4}a.$$

Опустим из точки $$K$$ перпендикуляр $$KH$$ на сторону $$CD$$, где $$H\in CD$$. Тогда $$KH=AB=a$$, а также

$$DH=AK=\frac{1}{3}a.$$

Следовательно,

$$MH=CD-DH-CM=a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a=\frac{5}{12}a.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KHM$$. По теореме Пифагора:

$$KH^2+MH^2=KM^2,$$

$$a^2+\left(\frac{5}{12}a\right)^2=13^2,$$

$$a^2+\frac{25}{144}a^2=169,$$

$$\frac{169}{144}a^2=169,$$

$$a^2=144,$$

$$a=12.$$

Ответ

$$12\text{ см}$$