Упр.112 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$ прямоугольника $$ABCD$$ пересекают сторону $$AD$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно. Докажите, что $$BM=CK$$.

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$. Тогда

$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ,$$

а так как $$BM$$ и $$CK$$ — биссектрисы углов $$B$$ и $$C$$, то

$$\angle ABM=\frac{1}{2}\angle B=45^\circ,$$

$$\angle DCK=\frac{1}{2}\angle C=45^\circ.$$

Кроме того, в прямоугольнике противоположные стороны равны:

$$AB=CD.$$

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$DCK$$. У них:

$$\angle A=\angle D=90^\circ,$$

$$\angle ABM=\angle DCK=45^\circ,$$

$$AB=CD.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle DCK$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны равны:

$$BM=CK.$$

Что и требовалось доказать.